Exercices types : familles libres

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Contenu du cours

Exercice 1

Soient $E=\mathbb R^3$ , $u=(1,0,1)$ , $v=(0,1,-1)$ et $w=(0,1,1)$ . La famille $(u,v,w)$ est-elle libre ?

Exercice 2

Dans $\mathbb R_2[X]$ , les familles suivantes sont-elles libres ?

1- $\left(P_1=1, P_2=X+1, P_3=X^2+X+1\right)$

2- $\left(Q_1=1, Q_2=2-X, Q_3=6-2X\right)$

Exercice 3

Soit ${\cal{C}^{\infty}}([a,b], \mathbb{R})$ l'ensemble des applications  de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ de classe ${\cal{C}}^{\infty}$.

Montrer que les familles suivantes sont libres.

1. $\left(x \mapsto x,x \mapsto e^x \right)$.

2. $\left(x \mapsto \sin{(x)}, x \mapsto \cos{(x)} \right)$.